Hoe ontwikkelen leerlingen in het vwo hun kennis over afgeleide functies?

Hoe ontwikkelen een leerlingen in het vwo hun kennis over afgeleide functies? Door dezelfde leerlingen in vwo 4,5 en 6 hardopdenkend opdrachten te laten maken ontstond een inzicht in het proces van de ontwikkeling van de kennis van leerlingen.

Inleiding

In 2012 verscheen het proefschrift van Gerrit Roorda over de ontwikkeling van wiskundige bekwaamheid van leerlingen met betrekking tot het concept afgeleide. In dit proefschrift wordt beschreven hoe de wiskundige bekwaamheid van 10 leerlingen uit een natuurprofiel zich in de loop van vwo 4,5 en 6 zich ontwikkelt.  De opdrachten die de leerlingen moeten maken hebben steeds raakvlakken met het begrip ‘afgeleide’ maar de leerlingen weten dat niet. Door de uitspraken van de leerlingen te analyseren in de context van het Nederlands wiskundeonderwijs, ontstaat een interessant inzicht in welke conceptuele en procedurele kennis over afgeleides leerlingen hebben in vwo 4,5, 6.

Interessant voor lerarenopleiders

Afgeleideschema

In het proefschrift wordt een schema ontwikkelt en gebruikt waarin het allerlei aspecten van de afgeleide overzichtelijk worden weergegeven. Het schema kan door studenten gebruikt worden om bijvoorbeeld in een leerboek te analyseren in hoeverre er aandacht is voor verschillende representaties en toepassingen.

Operationaliseren van conceptuele en procedurele kennis

In het proefschrift wordt het begrip wiskundige bekwaamheid geoperationaliseerd, en dan met name de aspecten conceptueel begrijpen en procedureel vloeiend werken. Deze operationalisering is mogelijk ook bruikbaar voor analyses van hardopdenk interviews met leerlingen.

Gedetailleerde beschrijvingen van denkprocessen

In hoofdstuk 6 worden oplossingsstrategieën van leerlingen gedetailleerd beschreven. Voor studenten kan het interessant zijn om enkele van deze oplosprocessen te bestuderen. Een opdracht die goed in een college past is om een uitgebreid transcript (zie bijlage A) van een leerling te analyseren op gebruikte oplossingsstrategieën. (PS. In het transcript is mooi zichtbaar hoe leerling B oplossingsmethoden geleerd bij natuurkunde en wiskunde door elkaar heen gebruikt).

Interessant voor docenten

Het onderzoek geeft aanwijzingen dat het zinvol is om na een conceptuele introductie van afgeleides (grafisch, klein interval, helling in een punt, differentiequotient, afgeleide) ook later aandacht te blijven geven aan het begrip afgeleide in brede zin: verschillende representatie en toepassingen.

Het onderzoek geeft aanwijzingen dat het zinvol is om raakvlakken met andere vakken (bijvoorbeeld marginale kosten bij economie, raaklijnmethode bij natuurkunde) te expliciteren.

Het blijkt, niet heel verrassend, dat ook goede leerlingen, na ‘behandeling’ van een hoofdstuk vaak ‘verbrokkelde’ kennis heeft. Aandacht voor het gehele ‘afgeleideschema’ lijkt zinvol.

In een artikel in de Nieuwe Wiskrant wordt beschreven welke oplossingsstrategieën leerlingen gebruiken voor de gebruikte opdrachten en hoe deze strategieën zich ontwikkelen. De leerlingen gaan in de loop van de tijd steeds meer de afgeleide functie gebruiken, maar in het begin (vwo 4,5) is ook de raaklijnmethode (zoals geleerd bij natuurkunde) veel gebruikt om de helling in een punt te vinden. Zie Roorda, G. (2012). Uit de ivoren toren: ontwikkeling in kennis van afgeleiden. Nieuwe Wiskrant, 32-2, pp 14-19.

Een opbrengst: context of wiskunde

In twee artikelen beschrijven Pauline Vos en Gerrit Roorda hoe leerlingen in een contextsom over ‘differentiequotienten’ redeneren. Sommige leerlingen gebruiken vooral wiskundetaal om de opdracht te interpreteren, anderen redeneren vooral in termen van de context. Enkele leerlingen schakelen tussen context en wiskunde.

Vos, P., & Roorda, G. (2016). Benzineverbruik of een differentiequotiënt?, deel 2. Euclides, 92(3).

Vos, P., & Roorda, G. (2016). Benzineverbruik of een differentiequotiënt?, deel 1. Euclides, 92(2).

Zie eventueel ook : Vos, P., & Roorda, G. (2017). Long-term development of how students interpret a model; Complementarity of contexts and mathematics. In G. A. Stillman, W. Blum, & G. Kaiser (Eds.), Mathematical Modelling and Applications: Crossing and Researching Boundaries in Mathematics Education (pp. 479-489). Springer.

Een opbrengst: een bijzonder rol voor de grafische rekenmachine

Hoewel de meeste leerlingen bij de opdrachten de grafische rekenmachine weinig gebruiken, blijkt er een leerling te zijn die zeer sterk leunt op één knop (optie) van de rekenmachine. Over deze leerling wordt geschreven in het artikel

Roorda, G., Vos, P., Drijvers, P., & Goedhart, M. (2016). Solving rate of change tasks with a graphing calculator: A case study on instrumental genesis. Digital Experience in Mathematics Education, 2(3), 228-252. DOI: 10.1007/s40751-016-0022-8

Een opbrengst: transfer tussen wiskunde en natuurkunde

Het begrip transfer wordt door diverse onderzoekers verschillend geduid. Een deel van de data is geanalyseerd vanuit het perspectief of leerlingen bij een opdracht gebruik maken van hun wiskundige kennis of hun natuurkundige kennis, en of ze deze ook aan elkaar kunnen verbinden. In het artikel wordt gebruikt gemaakt van het zogenaamde actor georienteerde perspectief.

Roorda, G., Goedhart, M., & Vos, P. (2015). An actor-oriented transfer perspective on high school students’ development of the use of procedures to solve problems on “rate of change”. International Journal of Science and Mathematics Education, 13(4), 863-889. DOI: 10.​1007/​s10763-013-9501-1

Materialen

Roorda, G. (2012). Ontwikkeling in verandering: Ontwikkeling van wiskundige bekwaamheid van leerlingen met betrekking tot het concept afgeleide

Zie https://www.rug.nl/staff/g.roorda/research/publications.html